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天亮了，我起床披上外套，走出门外深吸了几口气。罗曼蒂克山谷的空气带有一种大自然本身的清香味，吸到肺里就觉得精神都变得更好了，非常舒服。在自己以前生活的那个世界，这可不是一般人能够享受到的奢侈。
在湖边洗过脸，漱漱口，米西雅带着我绕湖小跑了两圈，然后从湖里打水烧开，准备早饭。早饭后照例是洗碗、给菜地浇水，打扫房间，她似乎忘了提上课的事。
等这些事都做完以后，她叫我到湖边的草地上坐下来，深呼吸几次并让全身放松，直到心里完全静下来，没有杂念时，便问：“一个月前，我曾告诉过你真正的数学是什么，你对怎样分割实数，什么是无穷小量还有印象吗？”
我仔细想了一会儿，虽然不能说已经完全忘记了，但怎么想都觉得很模糊。米西雅说：“忘记东西并不可怕，只有你完全理解了的东西才能记住，那么现在就让我们来复习一下吧。”
我点点头，米西雅又继续讲道：“你应该知道自然数是源自数手指，随后通过零和负数的加入把自然数扩展成了整数，也知道仅用整数仍然不足以描述客观世界，所以又有了小数、分数、无理数……不过现在我们不研究这些数，只要看一看周围的各种东西，就会发现有些是一个一个可以数清的，有些则是连成一片无法数的，比如湖里的水。人类曾注意到各种东西似乎都可以无限地分割下去，即使现实中做不到这一点，但可以想象只要有厚度为零的理想的刀，一定可以把东西切成无穷小，但永远不能在有限的次数内把大小不为零的东西切成零，而经过无限次分割，则可以实现从‘不为零’到‘零’的连续过渡。”
“这不是跟你最开始讲的相矛盾吗？”我突然回忆起了一点东西。
“确实是有矛盾，只是由于现实中的很多东西会给人这样的感觉，所以人类就把满足这种性质的量抽象为实数，又叫连续量，全体实数的集合称为连续统。有了实数，人类就开始研究通过怎样切割实数来实现从‘不为零’到‘零’的过渡，又通过怎样累加无限接近零的实数来实现从‘零’到‘不为零’的过渡，于是发明了微积分这种专门处理连续量的运算。”
“哦。”
“虽然微积分这种运算对于解决实际问题很有用，但其实没人真的明白从‘不为零’连续地过渡到‘零’的全部细节，也没人真的完全理解‘无穷小量’这种无限接近零的实数本质到底是什么。关键是连续量是人类自己从客观世界中抽象出来的，微积分也是通过人类自己的抽象思考，在连续量这个基础上建立起来的运算，它究竟是不是和真实的客观世界完全吻合，是不是能够对真实的客观世界进行分毫不差的精确描述，谁也说不清楚。”米西雅突然又改变了自己的观点，“所以，我们今天就先来看看真实的世界究竟是不是连续的，因为这是以后所有课程的基础。只有世界确实是连续的，微积分才是正确的；但如果世界真的是完全连续的，微积分本身将是无法理解也没有物理意义的。”
“听起来好矛盾啊。”我抓了抓头。
“这样讲你可能不好理解，下面我讲个故事。请仔细听哦，故事里会有一个陷阱，如果你掉进去了反而是件好事，你会发现里面藏着一个天大的秘密！”米西雅又开始讲故事了，所以我完全意识不到这就是在上课。
“古希腊有个特别厉害的田径运动员，名叫阿基里斯，他无论参加奥运会的短跑还是长跑都能轻轻松松拿冠军，是当时跑得最快的人，一位万众瞩目的体坛明星。可是有一天，一位叫芝诺的学者却发现，阿基里斯竟然连乌龟都追不上！芝诺公布了他的发现，人们一片哗然，阿基里斯自然也很不高兴，就去找芝诺评理，芝诺却不紧不慢地把他的研究过程解释了一遍，结果阿基里斯哑口无言，心服口服。”
“芝诺这么厉害啊？他到底是怎么解释的呢？”
“猜猜看。”米西雅笑嘻嘻地看着我。
“我怎么猜得到呀？难道阿基里斯遇到的乌龟是忍者龟？”对这个问题，我除了挠头还是只能挠头。
“当然不是。芝诺是这么说的：‘如果你和乌龟站在同一条起跑线上，乌龟当然不是你的对手，可是这样对乌龟来说不太公平，因为你的速度是乌龟的100倍，所以就让乌龟的起跑线在你前方100米处，然后你和乌龟同时起跑。你应该很快就能追到乌龟起跑的位置，但这时乌龟已经向前爬行了1米远，你还没追上牠。等你追到乌龟刚才到达的这个位置时，牠又向前爬行了一小段距离，你还是没追上牠。乌龟虽然爬得很慢，但只要牠一刻不停下脚步，你就始终只能追到牠上一刻的位置，不能追到牠现在这一刻所在的位置，这个过程将重复无数次，所以你可以无限接近乌龟，但却无法超越牠。’怎么样，芝诺解释得是不是很完美？”
“是呀，芝诺的解释确实无懈可击，可是我总觉得有哪里不对劲，我从来没见过跑得快的追不上跑得慢的。”
“因为芝诺的解释让你把全部注意力都集中到空间距离上去了，忘记了另一个重要的东西——时间。”
“时间？”
“是的，正是时间。”米西雅说，“芝诺在这里给你挖了个大坑，他让你注意到追上乌龟需要经过空间中的无穷个点和区间，而你会觉得这是理所当然的，因为空间是连续的。但是你一旦注意到需要经过空间中的无穷个点和区间，就会以为这个过程需要花费无限的时间，于是乌龟就追不上了。但既然空间是连续的，时间为什么不是连续的呢？只要时间也是连续的，那么有限的时间中也当然可以分出无穷个点和区间，所以运动的物体自然可以在有限的一段时间内通过空间中的无穷个点和区间，这样芝诺佯谬就解开了。”
“芝诺真狡猾呀！”我猛一拍脑袋。
“别忙，我刚才的解释虽然解决了芝诺佯谬，但还是有一个很核心的问题并没有解决，而且又引出了一个更大的问题。”
“什么问题？”
“就是我开始提到的，世界究竟是不是真的完全连续。”米西雅笑道，“连续意味着无限可分，在直观上，解决芝诺佯谬需要空间和时间同时具有连续性，但这样并不能回答阿基里斯在经过无穷个空间点和区间之后追上乌龟的那一刻究竟是什么情况，然后他又是怎么超过乌龟的。在连续的时空里，阿基里斯追上乌龟的过程是通过无限逼近的方式使他和乌龟的距离达到零这个极限值，然后呢？阿基里斯和乌龟的距离又是怎么从零再次变为一个不为零的数呢？以你学过的数学知识应该可以明白，零就表示‘无’，所以再小的数也不能等于零，再多的零加起来也还是零，对吗？”
“是这样的……可是，这是数学，一切都很理想化，现实中人总是一步一步地跑的。我觉得当阿基里斯跑到离乌龟的距离小于他的步长时，他一步就可以跨到乌龟前面去，而不会先无限逼近乌龟。”
“你很聪明嘛。如果把现实中的问题进行理想化，建立数学模型以后，问题反而变得更复杂更难解决，那就先扔掉数学模型，回到现实中去仔细看看，往往会发现难题竟然出奇的简单。这就是智慧，其实你本来就有，只是从来没去注意它，也不知道怎么运用。”
我受宠若惊地往后缩了缩，米西雅的赞赏简直让我这个老师和爹妈眼里不可救药的废物觉得有点肉麻。米西雅似乎也注意到了我并不习惯被表扬，于是说：“现在，请你站起来一下，我们来做个实验。你先以自己正常的步行速度沿直线随意走几步。”
我站起来走了几步，然后疑惑地看着米西雅，实在不明白这样做有什么意义。“能记住你刚才的速度吗？现在请你把自己的步长缩短一半再走一遍，但要保持刚才的速度。”她一边说一边看着我走，“现在有什么感觉？”
“我必须加快迈步的速度才能走得和刚才差不多快。”我回过头说。
“没错，你的行走速度等于步长乘以迈步的频率，如果步长减半，要保持速度就必须使迈步的频率加倍。”
“不过你到底想干什么？”米西雅的解释根本没有消除我的疑惑。
“很简单，我想请你尝试一下连续移动。”米西雅突然提出了一个很无理的要求，“请你尽量把自己的步长缩小，但仍然保持开始的速度行走。步长越接近零越好，如果能小到等于零是最好的，这样你的移动就完全连续了。”
我满头大汗，差点腿抽筋。“我不玩了，这是不可能做到的，因为我的脚不可能动得那么快。”我不满地说。
“其实你是可以不用去尝试的，在我提出这个要求的时候你完全可以拒绝。”米西雅的微笑此刻在我看来就像是坏笑——真是没想到自己的守护天使竟然也会捉弄自己，“因为你已经知道步行速度等于步长乘以迈步频率，所以当速度不变时，步长越小迈步频率就越高。如果步长趋近于零，迈步频率就必须趋近无穷大，但如果步长完全等于零了，即使迈步频率等于无穷大你也只能原地不动了，是不是这样？”
“我当然知道！可是你叫我玩这个究竟是什么目的？”米西雅头一次让我感到不愉快。
“我只是想告诉你芝诺的另一个发现——绝对连续的运动是不存在的，也叫做‘飞矢不动’，但是直接讲出来你可能会理解不了，所以就先请你做个游戏，刚才你已经亲自验证了这个结论。你还记得什么是运动，什么是速度吗？如果一个物体的位置在有限的时间内发生了不为零的变化，这个物体在这段时间里就存在着运动；而速度是一个描述运动快慢即位置变化快慢的量，它等于位置的变化量与完成这个位置变化所经过的时间之比。”我生气了，米西雅却不生气，她收起了笑容，像我第一次见到她时那样极有耐心地开始讲解。
我点点头，米西雅又继续说：“从速度的定义就可以看出，它是建立在一段空间和一段时间上的，只有这对对应的空间段和时间段都不为零，速度才有意义。但是如果要求出一个物体在某一个时刻或者在某一个位置处的瞬时速度，却需要违反这个定义。因为一段不为零的空间距离与一段不为零的时间的比值，是这段时间或这段距离内的平均速度，只有把一段空间距离和物体通过它所花费的那一段时间都缩成点以后，才能得到物体在这个空间点或时间点上的瞬时速度，而这不仅在物理上不可能，数学上也不允许。假如物体在一段不为零的时间内，移动的距离为零，顶多表示这个物体在这段时间内速度为零，没有运动，这是可以的；假如物体在一个时间点上移动了一段不为零的距离，表示这个物体在这个时刻的速度是无穷大，当然，这在物理上是不可能的，在数学上也违反了零不能作除数的规定，但至少我们还可以理解它的意义。可是，如果一个物体在一个时刻点上移动了一段等于零的距离，谁能知道它这时的速度到底是多少？因为瞬时是一个时刻，时刻在空间中对应的也是一个位置点，不含有位置的变化量，所以无法表示速度。芝诺就是这样推导出了一个惊人的结论——瞬时速度是不存在的！从这个结论还可以继续往下推：因为任何运动都是无数时刻的瞬时速度大量累加而成的，既然瞬时速度都不存在，那么运动也就不存在。于是芝诺说，一切运动其实都是幻觉，世界上从来就没有什么东西真的动过，这就是‘飞矢不动’。”
在我以前看来平常得不能再平常，自然得不能再自然的运动和速度这两个概念，竟然隐藏着如此多的陷阱，有着如此深奥的学问！
但是，我无论如何也不能同意芝诺的观点——运动都是幻觉。物体在有限的时间内改变位置是我每时每刻都能看见的事实，我在12个小时的时间里从87公里外的树林来到了罗曼蒂克山谷也不是幻觉。然而关于瞬时速度定义所引起的矛盾，却不容置疑地导致了这一切并不存在的结果！
“使你觉得受了戏弄的那个游戏就是解开这个问题的钥匙。”米西雅在我旁边坐下来，“现在我们反过来想想看，物体的运动是真实存在的，所以在任何情况下速度都是有意义的，也就是说任何情况下速度的定义都不会被违反，这就要使得绝对精确地计算每个时间点和空间点上的瞬时速度这种要求根本就不会产生！要满足这一点，只有一种可能——时间和空间都不是无限可分的，都有不为零的最小单位，所有物体的运动都和你走路一样，是一步一步地移动的，而不是绝对连续的平滑移动。你能明白吗？”
PS：从本章到30章的内容可能会让不少读者读起来感到有点吃力和枯燥，如果实在看不下去的，可以跳过以上章节或弃书，不必强迫自己。如果有心把文中的每一个问题都弄清楚，请保持思考，必要时可以尝试用小本子把文中所讲的东西和自己的理解及思路写下来或画出来。遇到文中出现从未见过的理解不能的概念名词，请多骚扰度娘，有一些也可以先不管，因为下文就会解释。
